출처: 한국방송광고공사 - 광고연구
3. 광고 노출분포 모델
초기 광고 매체 노출분포 모델은 주로 경험적인 방법을 통해서 어떤 매체 일정이 가지는 총구독률(gross audience)에서 중복구독률(duplication)과 반복구독률(replication)을 배제한 좀더 정확히, 축적된 도달률(cummulative reach)를 구하고자 하였다(예 Agostini, Hofmans등). 경험적인 방법에 의해 형성된 모델은 공식을 도출하는 데 사용된 데이터 범위 안에서는 상당한 정확도를 유지할 수 있지만 그 데이터 범위 밖에까지 적용하기에는 아무런 이론적 타당성이 없기 때문이다. 이러한 경험적 방법의 한계성으로 말미암아 노출분포 모델은 잘 알려진 확률분포의 이용을 모색하게 되었고, 그 연구 추이에도 단일변량(univaricate) 혹은 단차원(uniduniensional) 접근법(예 binomial, beta-binomical distribution model)에서 다차원 혹은 다변량 확률분포(multivariate probability distribution)을 이용하게 되었다(예; Dirichlet multinomial distribution model, canonical expansion model‥‥ 등).
본 연구에서는 새로이 개발된 모델의 성능을 현재까지 발표된 7개의 다른 모델과 같은 조건과 기준으로 비교할 것이지만, 일곱 가지 모델의 수학적인 설명은 지면상 생략하고 본 연구에서 가장 중심 비교 대상인 Canonical expansion모델과 새 모델만 간략하게 설명하고자 한다.
1) Canonical Expansion 모델(CANEX)
CANEX모델은 매체일정에 속하는 모든 매체와 삽입수에 대한 종합확률 분포* (joint probability distribution)들의 완전한 계산을 필요로 한다. 그 종합확률들(joint probabilities)은 각 매체들 간에 무작위 중복(random duplication)을 가정한 후에 이 무작위 중복을 각 매체의 주변확률분포(marginal probability distribution)의 평균과 분산 그리고 각 매체들이 매체 일정 내의 다른 매체들과 가지는 상관관계(correlation of the paired vehiclesl)들로 조정하여 산출하게 된다. 여기에서 개별 매체의 주변확률은 베타 이항분포(beta binomial distribution)을 이용하여 얻는다.
전체 m가지수의 매체와 각 매체에 2번의 삽입수(ki,=2)를 갖는 매체 일정의 노출분포를 구하기 위해서 CANEX모델은 3m가지의 종합확률을 계산하여야 하는데 그것을 수학적으로 표현해보면 다음과 같다
위에서
그리고 BBD는 다음과 같이 표현될 수 있다.
모멘트 방법(the method of moments)을 이용해 상기의 BBD의 모수(parameters)를 다음과 같이 구할 수 있다.
마지막으로, ①로부터 구한 m 차원의 종합확률행렬(joint probability matrix)에서 대각선으로 같은 노출수준의 확률을 더하여 0부터 N까지의 최종 노출분포를 구하게 된다. 여기서
2) 조건 베타분포 모델(the conditional beat distribution model)
이 모델은 각 비히클의 주변확률분포(marginal distribution)는 배타이항 분포(BBD)를 한다고 가정한다. 따라서 개인이 주어진 비히클에 노출된 확률은 개인적 확률(p)로 특징지워지고 이 확률은 삽입수의 증감에 상관없이 일정하다고 가정한다. 즉 특정 비히클 i의 ni번 삽입들(insertions)중 어느 것에나 똑같은 확률로 노출된다고 가정하는 것이다. 모집단 내의 개인의 노출분포는 베타 분포를 이룬다.
또한 주어진 비히클에 개인이 노출될 확률은 그 비히클이 첫 삽입에 노출되는지 여부와 상관이 있는 조건적 배타이항 분포를 따른다고 가정한다.
본 모델의 노출확률은 두 과정으로 형성되는 데 하나는 타(他)매체 간(between-vehicle)에서 이루어지는 것과 다른 하나는 동매체 내(within-vehicle)에서 이루어지는 것이다.
먼저 타매체 간 중복률(duplication)은 각 매체의 BBD 주변확률(marginals)을 구하고 각 매체에 1회 삽입만을 가정한 (따라서 동매체 내의 중복률은 이 과정에서는 고려에서 제외시킬 수 있다) 종합노출확률(joint exposure probabilities)를 Danaher가 이용한 canonical 확장 과정을 이용해서 계산 한다.
동매체 내의 중복률은 조건적 베타이항분포를 이용해서 구한다. 아래의 표는 어떤 매체 i의 첫 삽입에 대한 노출여부의 경우(노출=1, 비노출=0)와 그 주어진 노출여부를 감안했을 때의 나머지 삽입(ni-1)에 대한 노출 경우에 대한 종합확률(joint probability)을 구하는 것과 그 종합확률과 동매체 내의 조건 확률 간의 관계를 설명하고 있다 (216, 217면표 참조).
한 개인이 한 매체일정에 속한 모든 비히클과 그것들의 개별적인 삽입횟수를 감안한 종합확률을 고려할 때, 한 비히클의 첫번째 삽입에 노출되느냐 여부는 같은 비히클의 다른 삽입들간에 노출되는 확률이나 다른 비히클에 노출되는 확률보다 더 중요한 설명력을 가지게 된다. 간단히 말하면 어떤 잡지의 첫호를 보면 다음호를 계속 볼 확률이 높아진다(Danaher 1992). 이 증명된 상관관계를 이용하여 마코프 연쇄이론(Markov Chain)을 더욱 간단히 조정할 수 있다. 아래의 수학적 표시는 2개의 잡지와(m=2)와 각 잡지에 3회의 삽입(n1=n2=3)가정 했을 때의 확률을 마코프 연쇄(Markov Chain)로 표현한 것을
전술한 논리를 이용하여 다음과 같이 더 간단히 전개시킬 것을 나타내고 있다.
위 식에서 볼 수 있듯이 두 비히클들의 첫번째 삽입간의 종합확률분포(joint prob. distribution)가 주어지면 각 비히클의 조건적 노출확률분포는 독립적(independent)이라 할 수 있다. 이것은 한 매체 일정 내에 있는 m개 의 비히클에 확대 적용할 수 있다.*
마지막으로 동매체 내의 convolution과 타매체간의 (0,1) 종합확률들을 곱한 최종 노출확률분포 함수를 수학적으로 표현해 보면 다음과 같다.
대개의 다변량확률분포를 이용한 노출분포모델들이 모든 종합확률(joint prob)을 한꺼번에 고려해야 함에서 오는 컴퓨터 연산상의 시간적 공간적 문제점을 한계로 안고 있는 반면 본 모델은 모든 비히클을 한꺼번에 고려하기 보다는 두개의 비히클을 convolution시키고 같은 노출수준들끼리 합하여 다음 비히클을 convolution 시키는 방법을 썼다. 그러나 Morgensztern 연합산 모델(Lee 1998)과는 달리 convolution 과정과 두 차원을 한 차원으로 합산하는 과정에서 비히클의 순서와 상관없이 동일한 결과를 얻는다. 또한 본 모델을 위해서 구해야하는 모수는 모멘트 방법(method of moments)을 통해 각 비히클 BBD 모수인 α와β를 다음과 같이 구하면 된다.
